Gewichtetes arithmetisches Mittel

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"Gewichteter Durchschnitt" leitet hier um. Es ist nicht mit dem gewichteten Median zu verwechseln.

Das gewichtete arithmetische Mittel ist ähnlich einem gewöhnlichen arithmetischen Mittel (der gebräuchlichste Durchschnittstyp), mit der Ausnahme, dass anstelle von jedem der Datenpunkte, die gleichmäßig zum endgültigen Durchschnitt beitragen, einige Datenpunkte mehr beitragen als andere. Der Begriff des gewichteten Mittels spielt eine Rolle in der deskriptiven Statistik und tritt auch in einer allgemeineren Form in verschiedenen anderen Bereichen der Mathematik auf.

Wenn alle Gewichte gleich sind, ist das gewichtete Mittel das gleiche wie das arithmetische Mittel. Während gewichtete Mittel sich im Allgemeinen ähnlich wie arithmetische Mittel verhalten, haben sie einige kontraintuitive Eigenschaften, wie sie beispielsweise in Simpson's Paradoxon festgehalten sind.

Beispiele

Grundlegendes Beispiel

Bei zwei Schulklassen, einer mit 20 Schülern und einer mit 30 Schülern, waren die Noten in jeder Klasse auf einem Test:

Morgenklasse = 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98
Nachmittagsklasse = 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93 , 94, 95, 96, 97, 98, 99

Der durchschnittliche Durchschnitt für die Vormittagsklasse ist 80 und der durchschnittliche Durchschnitt der Nachmittagsschicht ist 90. Der durchschnittliche Durchschnitt von 80 und 90 ist 85, der Mittelwert der beiden Klassenmittel. Dies berücksichtigt jedoch nicht den Unterschied in der Anzahl der Schüler in jeder Klasse (20 versus 30); daher entspricht der Wert von 85 nicht der durchschnittlichen Schulnote (unabhängig von der Klasse). Die durchschnittliche Schülerquote kann durch Durchschnittsbildung aller Noten ohne Rücksicht auf die Klassen erreicht werden (alle Noten werden addiert und durch die Gesamtzahl der Schüler dividiert):

Oder dies kann erreicht werden, indem die Klassenmittel durch die Anzahl der Schüler in jeder Klasse gewichtet werden (unter Verwendung eines gewichteten Mittels der Klassenmittel):

Das gewichtete Mittel macht es also möglich, den durchschnittlichen Schülergrad zu finden, wenn nur die Klasse und die Anzahl der Schüler in jeder Klasse verfügbar sind.

Konvexes Kombinationsbeispiel

Da nur die relativ Gewichte sind relevant, jeder gewichtete Mittelwert kann unter Verwendung von Koeffizienten ausgedrückt werden, die sich zu Eins addieren. Eine solche lineare Kombination wird als konvexe Kombination bezeichnet.

Mit dem vorherigen Beispiel würden wir die folgenden Gewichte erhalten:

Dann wenden Sie die Gewichte wie folgt an:

Mathematische Definition

Formal das gewichtete Mittel einer nicht leeren Menge von Daten

(wobei x eine Menge von Mittelwerten darstellt)mit nicht-negativen Gewichten

was bedeutet:

Daher tragen Datenelemente mit einem hohen Gewicht mehr zu dem gewichteten Mittelwert bei als Elemente mit einem geringen Gewicht. Die Gewichte können nicht negativ sein. Einige können Null sein, aber nicht alle (da Division durch Null nicht erlaubt ist).